Question

13．如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在AC上．
（1）若F是BD的中點(diǎn)，求證：CF=EF；
（2）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AE恰好在AC上（如圖2）．若F為BD上一點(diǎn)，且CF=EF，求證：BF=DF；
（3）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3）．若F是BD的中點(diǎn)．探究CE與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，
（2）通過證明△EFC是等腰直角三角形來求解．先證△EFC是等腰三角形，證明△DEF和△FGB全等．
（3）通過證明△CFE來得出結(jié)論，通過全等三角形來證得CF=FE，證明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線，我們不難得出EM=PN$\frac{1}{2}$AD，EC=MF=$\frac{1}{2}$AB，得出四邊形AMPN為平行四邊形，那么對角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么兩三角形就全等了．證明∠CFE是直角的過程與（1）完全相同．那么就能得出△CEF是個(gè)等腰直角三角形，于是得出的結(jié)論與（1）也相同．

解答 （1）證明：如圖1，連接CF，

直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD，
同理可得出CF=$\frac{1}{2}$BD，
∴CF=EF，
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖2，連接CF，

延長EF交CB于點(diǎn)G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF，
∴△EDF≌△GBF，
∴BF=DF．
（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．
如圖3，

取AD的中點(diǎn)M，連接EM，MF，取AB的中點(diǎn)N，連接FN、CN、CF，
∵DF=BF，
∴FM∥AB，且FM=$\frac{1}{2}$ AB，
∵AE=DE，∠AED=90°，
∴AM=EM，∠AME=90°，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴CN=AN=$\frac{1}{2}$AB，∠ANC=90°，
∴MF∥AN，F(xiàn)M=AN=CN，
∴四邊形MFNA為平行四邊形，
∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，
∴∠EMF=∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，
∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC=90°，
可得∠CPF=90°，
∴∠FCN+∠PFC=90°，
∴∠EFM+∠PFC=90°，
∴∠EFC=90°，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是通過全等三角形來得出線段的相等，難點(diǎn)是要根據(jù)已知條件通過輔助線來構(gòu)建．