Question

5．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3．與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，在下面五個(gè)結(jié)論中：
①2a+b=0；②a+b+c＞0；③c=-3a；④abc＞0．⑤b²-4ac＜0
其中正確的結(jié)論是①③④．（只填序號(hào)）

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)對稱軸x=1即可解決問題．
②錯(cuò)誤．∴x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0．
③正確．由A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），推出a-b+c=0，而b=-2a，推出a+2a+c=0，即c=-3a．
④正確．由拋物線開口向上，推出a＞0；由對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$＞0，推出b＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，推出c＜0，由此即可判斷．
⑤錯(cuò)誤．因?yàn)閽佄锞�與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以△＞0．

解答 解：∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，則-$\frac{2a}$=1，即2a+b=0，所以①正確；
∵當(dāng)自變量取1時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，
∴x=1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0，所以②錯(cuò)誤；
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，所以③正確；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0；
∵對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$＞0，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，則abc＞0，所以④正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞0，所以⑤錯(cuò)誤．
故①③④正確，
故答案為①③④．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．