Question

12．對某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點所形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．例如，平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓．
（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A（0，2），B是x軸上一動點，當點B在x軸上運動時，點C在坐標系中運動，點C運動形成的軌跡是直線DE，且DE⊥x軸于點G．則直線DE的表達式是x=2．
（2）當△ABC是等邊三角形時，在（1）的條件下，動點C形成的軌跡也是一條直線．
①當點B運動到如圖2的位置時，AC∥x軸，則C點的坐標是（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）．
②在備用圖中畫出動點C形成直線的示意圖，并求出這條直線的表達式．
③設(shè)②中這條直線分別與x，y軸交于E，F(xiàn)兩點，當點C在線段EF上運動時，點H在線段OF上運動，（不與O、F重合），且CH=CE，則CE的取值范圍是$\frac{4\sqrt{3}}{9}$≤CE＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥y軸，△DMA≌△AOB，可求得DM的長，可得出DE的表達式；
（2）①過C作CN⊥x軸于點N，由等邊三角形的性質(zhì)可求得CN和ON，可求得C點坐標；②可再求得滿足條件的一個C點，如當C（0，-2）時，滿足條件，利用待定系數(shù)數(shù)法可求得直線表達式；③以C為圓心，CE長為半徑畫圓，當該圓過點O時，此時CE有最大值（取不到該值），當該圓與y軸相切時，CE有最小值，再根據(jù)等腰三角形和平行線分線段成比例分別求得CE的值，即可求得答案．

解答 解：
（1）過C作CM⊥y軸于點M，如圖1，

∵∠BAC=90°，
∴∠CAM+∠BAO=∠MCA+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠MCA，
在△DMA和△AOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCA=∠BAO}\\{∠CMA=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△DMA≌△AOB（AAS），
∴MC=OA=2，且DE⊥x軸，
∴直線DE的表達式為x=2，
故答案為：x=2；
（2）①過C作CN⊥x軸于點N，如圖2，

∵AC∥x軸，
∴CN=AO=2，
又△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCN=30°，
∴AC=BC=$\frac{CN}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴C點坐標為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2），
故答案為：（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）；
②由①知C點坐標為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2），
且當C（0，-2）時，由A、C關(guān)于x軸對稱可知在x軸上存在B點使△ABC為等邊三角形，
∴點（0，-2）也在C點所形成的直線上，
設(shè)直線表達式為y=kx+b，
把點（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）和（0，-2）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{2=\frac{4\sqrt{3}}{3}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ k=\sqrt{3}\end{array}\right.$．
∴直線的表達式是y=$\sqrt{3}$x-2；
動點C運動形成直線如圖3所示

③當點C在線段EF上時，以C為圓心，CE長為半徑畫圓，
當圓過點O時，如圖4，邊接CO，可知此時CE最長，

由②可求得E點坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），F(xiàn)（0，-2），
由勾股定理可求得EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由圓周角定理可知此時CE=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
當圓與y軸相切時，則切點即為滿足條件的點H，連接CH，如圖5，

此時CE的值時小，
∵HC∥OE，且CH=CE，
∴$\frac{HC}{OE}$=$\frac{FC}{EF}$=$\frac{EF-CE}{EF}$=$\frac{CE}{OE}$，即$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}-CE}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{CE}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$，解得CE=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
又點H與O、F不重合，
∴CE取不到最大值，
∴CE的取值范圍為$\frac{4\sqrt{3}}{9}$≤CE＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{9}$≤CE＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等．在（1）中求得C到y(tǒng)軸的距離是解題的關(guān)鍵，在（2）③中確定出CE的最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．本題知識點較多，綜合性較強，但難度不大．