Question

2．如圖，直線AB交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B兩點，交x軸于點C（4a，0），AB=2BC，過點B作BM⊥x軸于點M，連接OA，若OM=3MC，S_△OAC=8，求k的值．

Answer 1

分析 連結(jié)OB，設(shè)B點坐標(biāo)為（a，b），將B點坐標(biāo)代入反比例解析式得到ab=k，確定出OM與BM的長，根據(jù)OM=3MC，表示出MC長，進(jìn)而表示出三角形BOM與三角形BMC的面積，兩面積之和表示出三角形BOC的面積，由AB=2BC，設(shè)點O到AC的距離為h，求出三角形BOC與三角形AOB面積之比，確定出三角形AOC的面積，由S_△OAC=8列出關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值．

解答 解：連結(jié)OB，設(shè)B（a，b）．
∵點B在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴ab=k，且OM=a，BM=b，
∵OM=3MC，
∴MC=$\frac{1}{3}$a，
∴S_△BOM=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$k，S_△BMC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$ab=$\frac{1}{6}$ab=$\frac{1}{6}$k，
∴S_△BOC=S_△BOM+S_△BMC=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{6}$k=$\frac{2}{3}$k，
∵AB=2BC，設(shè)點O到AC的距離為h，
則$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•h}{\frac{1}{2}AB•h}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AOB=2S_△BOC=$\frac{4}{3}$k，
∴S_△AOC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{4}{3}$k+$\frac{2}{3}$k=2k，
∵S_△AOC=8，
∴2k=8，
∴k=4．

點評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．