Question

7．如圖，正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是邊CD和AD上的點，且DF=DE=2，連結(jié)AE，作點F關(guān)于AE的對稱點G，連結(jié)AG并延長交CD于點H，過點G的直線l分別交線段AF，BC于點M，N，且MN=AH．則AH和MF的長分別是$\frac{15}{2}$和$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 過E作PE⊥AH于點P，設HE=x，由sin∠AHD=$\frac{AD}{AH}$=$\frac{PE}{HE}$，得$\frac{6}{AH}$=$\frac{2}{x}$，可得AH=3x，在Rt△ADH中，由AD²+DH²=AH²，可得6²+（2+x）²=（3x）²，解方程即可．過G作GQ⊥AD于點Q，并反向延長交BC于點R，易得GQ=AG•sin∠DAH=$\frac{12}{5}$，推出GR=$\frac{18}{5}$，由MQ∥RN，可得$\frac{GM}{GN}$=$\frac{GQ}{GR}$=$\frac{2}{3}$，推出GM=3，MQ=$\frac{9}{5}$，由tan∠QGF=tan∠DAE=$\frac{1}{3}$，得QF=$\frac{12}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{5}$，即可推出MF=$\frac{8}{5}$+$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$．

解答 解：過E作PE⊥AH于點P，設HE=x
由sin∠AHD=$\frac{AD}{AH}$=$\frac{PE}{HE}$，得$\frac{6}{AH}$=$\frac{2}{x}$，
∴AH=3x，
在Rt△ADH中，∵AD²+DH²=AH²，
∴6²+（2+x）²=（3x）²，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴AH=$\frac{15}{2}$．
過G作GQ⊥AD于點Q，并反向延長交BC于點R，易得GQ=AG•sin∠DAH=$\frac{12}{5}$，
∴GR=$\frac{18}{5}$，
∵MQ∥RN，
∴$\frac{GM}{GN}$=$\frac{GQ}{GR}$=$\frac{2}{3}$，
∴GM=3，
∴MQ=$\frac{9}{5}$，由tan∠QGF=tan∠DAE=$\frac{1}{3}$，得QF=$\frac{12}{5}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{5}$，
∴MF=$\frac{8}{5}$+$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$．
故答案為$\frac{15}{2}$或$\frac{13}{5}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱變換、銳角三角函數(shù)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．