Question

4．已知平行四邊形ABCD的面積為60cm²，點P是其內(nèi)部一點，連接PA，PB，PC，PD，將平行四邊形分成四個三角形，其面積分別記為如圖所示的S₁、S₂、S₃、S₄．如果過P點分別做上述四個三角形的高，你會發(fā)現(xiàn)S₁、S₂、S₃、S₄滿足S₁+S₃=S₂+S₄，請應(yīng)用這個結(jié)論解決下列問題：

（1）若S₂=2S₁，S₃=3S₄，求S₁+S₂的值．
（2）在（1）的條件下，連接AC、BD，求三角形PBD與三角形PAC的面積和．

Answer 1

分析 （1）過點P分別作PF⊥AD于點F，PE⊥AB于點E，由于△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，得到此時兩三角形的高的和為AD與BC的距離，根據(jù)三角形面積的求法得到S₂+S₄=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=30，同理可得出S₁+S₃=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=30，然后根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系即可得到結(jié)果；
（2）由（1）知S₁=12，S₂=24，求得S₃=30-12=18，S₄=30-24=6，然后根據(jù)各圖形之間的關(guān)系即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）如右圖，過點P分別作PF⊥AD于點F，PE⊥AB于點E，
∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，
∴此時兩三角形的高的和為AD與BC的距離，∴S₂+S₄=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=30，
同理可得出S₁+S₃=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}=30，
∴S₂=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}-S₄=30-S₄，
∵S₂=2S₁，S₃=3S₄，
∴S₁+S₃=S₁+3S₄=S₁+3（30-S₂）=S₁+3（30-2S₁）=30，
∴S₁=12，
∴S₂=24，
∴S₁+S₂=36；

（2）由（1）知S₁=12，S₂=24，
∴S₃=30-12=18，S₄=30-24=6，
∴S_△PBD+S_△PAC
=S_△BDC-S₁-S₄+S_△ABC-S₃-S₄
=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}-S₁-S₄+$\frac{1}{2}$_{四邊形ABCD}-S₃-S₄
=18．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．