Question

7．如圖，在矩形ABCD中，ABcm=3，BC=4cm，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連結(jié)BO，動(dòng)點(diǎn)p，Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)p沿B→C→B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，點(diǎn)Q沿B→A以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，以BP、BQ為邊作矩形BPMQ（點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合）．設(shè)矩形BPMQ與△OBC重疊部分圖形的面積為y（cm²），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．
（1）線段OB=$\frac{5}{2}$；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)矩形BPMQ與△OBC重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）連結(jié)BM、MO，直接寫出△BOM為直角三角形時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，然后由直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）先求出∠MPC=∠ABC=90°，再根據(jù)tan∠MCP=tan∠ACB，得出$\frac{MP}{PC}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，求出x即可；
（3）根據(jù)S_△ABC=6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3，分三種情況討論：①當(dāng)0＜x≤$\frac{6}{5}$時(shí)，設(shè)OB與QM的交點(diǎn)為E，根據(jù)$\frac{QE}{QB}=\frac{BC}{AB}$得出QE=$\frac{4}{3}$x，根據(jù)y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ代入計(jì)算即可；②當(dāng)$\frac{3}{2}$≤x＜2時(shí)，設(shè)OC與PM的交點(diǎn)為F，根據(jù)$\frac{PF}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PF=$\frac{3}{4}$（4-2x），根據(jù)y=S_△BOC-S_△PCF代入計(jì)算即可；③當(dāng)2＜x＜3時(shí)，設(shè)OC與PM的交點(diǎn)為G，根據(jù)$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，得出PG=$\frac{3}{4}$（2x-4），根據(jù)y=S_△BOC-S_△PCG代入計(jì)算即可；
（4）當(dāng)△BOM為直角三角形時(shí)，∠BOM=90°，如圖⑦由∠ABO=∠BAO，∠ABC=∠BQG，推出△ABC∽△BGQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{BG}$，于是得到BG=$\frac{5}{3}$x，同理QG=$\frac{4}{3}$x，求出OG=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{3}$x，MG=2x-$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x，通過△QGB∽△OMG，于是得到$\frac{OG}{QG}=\frac{GM}{BG}$，列方程即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，ABcm=3，BC=4cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵∠ABC=90°，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$；

（2）如圖①，
∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°．
∵∠MPC=∠ABC=90°，
∴tan∠MCP=tan∠ACB．
∴$\frac{MP}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{x}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{6}{5}$； 

（3）∵在矩形ABCD中，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
∵點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=3．
①當(dāng)0＜x≤$\frac{6}{5}$時(shí)，如圖④，設(shè)OB與QM的交點(diǎn)為E．               
∵tan∠QBE=tan∠CAB，
∴$\frac{QE}{QB}=\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{QE}{x}=\frac{4}{3}$，
∴QE=$\frac{4}{3}$x，
∴y=S_矩形BPMQ-S_△BEQ=x•2x-$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{4}{3}$x²，
②當(dāng)$\frac{3}{2}$≤x＜2時(shí)，如圖⑤，設(shè)OC與PM的交點(diǎn)為F，
∵tan∠BCA=tan∠PCF，
∴$\frac{PF}{PC}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PF}{4-2x}$=$\frac{3}{4}$，
∴PF=$\frac{3}{4}$（4-2x），
∴y=S_△BOC-S_△PCF=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（4-2x）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3．          
③當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖⑥，設(shè)OC與PM的交點(diǎn)為G．                
∵tan∠BCA=tan∠PCG，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PG}{2x-4}$=$\frac{3}{4}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$（2x-4），
∴y=S_△BOC-S_△PCG=3-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$（2x-4）²=-$\frac{3}{2}$x²+6x-3，
綜合所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}{x}^{2}（0＜x≤\frac{6}{5}）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（\frac{3}{2}≤x＜2）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x-3（2＜x＜3）}\end{array}\right.$；
（4）當(dāng)△BOM為直角三角形時(shí)，分兩種情況：∠BOM=90°，
如圖⑦∵∠ABO=∠BAO，∠ABC=∠BQG，
∴△ABC∽△BGQ，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{BG}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{x}{BG}$，
∴BG=$\frac{5}{3}$x，
同理QG=$\frac{4}{3}$x，
∴OG=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{3}$x，MG=2x-$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x，
∵∠BQG=∠GOM=90°，∠QGB=∠OGM，
∴△QGB∽△OMG，
∴$\frac{OG}{QG}=\frac{GM}{BG}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}-\frac{5}{3}x}{\frac{4}{3}x}=\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{5}{3}x}$，
解得：x=$\frac{25}{22}$，
②∠BMO=90°，
如圖8，連接DQ，延長(zhǎng)MO交DQ于H，
∴當(dāng)DQ∥BM時(shí)，∠BMO=90°，
∵AD∥QM，
∴∠ADQ=∠DQM，
∴△ADQ∽△BMQ，
∴$\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{3-x}{4}=\frac{1}{2}$，
∴x=1，
綜上所述：△BOM為直角三角形時(shí)x的值為1或$\frac{25}{22}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，注意分類討論．