Question

17．如圖，等邊△ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE．（1）求證：AE∥BC．
（2）當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EC⊥BC？

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC與三角形DEC都為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，三角相等都為60°，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，利用等式的性質(zhì)得到∠ACE=∠BCD，利用SAS得出三角形ACE與三角形BCD全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到AE與BC平行；
（2）當(dāng)CD與AB垂直時(shí)，得到∠BDC為直角，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠AEC=∠BDC=90°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC與△DEC都為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，DE=EC=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠B=60°，
∴AE∥BC；

（2）當(dāng)CD⊥AB時(shí)，EC⊥BC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=90°，
∴EC⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．