Question

2．如圖，點E為正方形ABCD的邊BC所在直線上的一點，連接AE，過點C作CF⊥AE于F，連接BF．
（1）如圖1，當(dāng)點E在CB的延長線上，且AC=EC時，求證：BF=$\frac{1}{2}AE$；
（2）如圖2，當(dāng)點E在線段BC上，且AE平分∠BAC時，求證：AB+BE=AC；
（3）如圖3，當(dāng)點E繼續(xù)往右運動到BC中點時，過點D作DH⊥AE于H，連接BH．求證：∠BHF=45°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）作EG⊥AC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出BE=EG，進而通過RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后證得△EGC是等腰直角三角形，從而證得EG=GC，即可證得AB+BE=AC；
（3）設(shè)正方形的邊長為1，則AB=AD=1，BE=EC=$\frac{1}{2}$，根據(jù)勾股定理求得AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，然后通過證得△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，對應(yīng)邊成比例證得CF=AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，然后根據(jù)SAS證得△ABH≌△CBF，證得BH=BF，∠ABH=∠CBF，從而證得△HBF是等腰直角三角形，從而證得∠BHF=45°．

解答 （1）證明：如圖1，∵AC=EC，CF⊥AE，
∴AF=EF，
∴BF是RT△ABE的斜邊的中線，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE；
（2）如圖2，作EG⊥AC于G，
∵AE平分∠BAC，AB⊥BE，
∴BE=EG，
在RT△ABE和RT△AGE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=GE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
∴AG=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠GEC=45°，
∴∠GEC=∠ACB=45°，
∴EG=GC，
∴AB+BE=AG+GC，
即AB+BE=AC；
（3）如圖3，設(shè)正方形的邊長為1，則AB=AD=1，
∵點E是BC中點，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，
∴△AEB∽△CEF，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{CF}{1}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠AEB，
∵∠AHD=∠BEA=90°，
∴△ADH∽△EAB，
∴$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AD}{AE}$，即$\frac{AH}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CF=AH，
在△ABH和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAH=∠BCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，
∴∠HBF=90°，
∴△HBF是等腰直角三角形，
∴∠BHF=45°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．