Question

13．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3 cm，BC=5 cm，點(diǎn)D在線段AC上，且CD=1 cm，動(dòng)點(diǎn)P從BA的延長(zhǎng)線上距A點(diǎn)5 cm的E點(diǎn)出發(fā)，以每秒2 cm的速度沿射線EA的方向運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）直接用含有t的代數(shù)式表示PE=2t；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使△ABC與以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）求△CPB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并畫出圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得PE=2t．
（2）當(dāng)PA=AC=4時(shí)，△ABC≌△ADP，可得方程5-2t=4或2t-5=4，解方程即可．
（3）分兩種情形討論即可①當(dāng)0＜t≤4時(shí)．②當(dāng)t＞4時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）由題意PE=2t．
故答案為2t．

（2）存在．
理由：在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵CD=1，
∴AD=AB=3，
在△ABC和△PAD中，
∵∠BAC=∠DAP=90°，AD=BC，
∴當(dāng)PA=AC=4時(shí)，△ABC≌△ADP，
∴5-2t=4或2t-5=4，
∴t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{9}{2}$s．
∴∴t=$\frac{1}{2}$s或$\frac{9}{2}$s時(shí)，使△ABC與以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等．

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$•（8-2t）•4=16-4t．
②當(dāng)t＞4時(shí)，S=S=$\frac{1}{2}$PB•AC=$\frac{1}{2}$•（2t-8）•4=4t-16．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{16-4t}&{（0＜t≤4）}\\{4t-16}&{（t＞4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考�？碱}型．