Question

8．如圖，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，E是AB邊上一點，且AE=AD，P是線段CD上一點，連結PE，將矩形沿著PE折疊，點B，C分別落在G，F(xiàn)處，F(xiàn)G，CD交于點O．
（1）當點G正好落在線段DE上，
①求證：DP=DE；
②當a=5，b=10時，求△FOP的周長．
（2）若a=6，b=6+2$\sqrt{3}$，當點P從點C移動到點D時，請求出點G經過的路徑長．

Answer 1

分析 （1）①依據矩形的性質和平行線的性質可證明∠DPE=∠BEP，由翻折的性質得到∠BEP=∠GEP，則∠DPE=∠GEP，最后利用等角對等邊的性質進行證明即可；②先依據勾股定理求得DE的長，然后依據翻折的性質可得GE的長，從而可得到DG的長，依據OF=FG-OG可得到OF的長，接下來證明△DGO、△OFP為等腰直角三角形，最后依據△FOP的周長=（2+$\sqrt{2}$）OF求解即可；
（2）由翻折的性質可知BE=EG=2$\sqrt{3}$，點G在以E為圓心，以EG為半徑的圓弧上，然后求得當點P與點C重合，點P與點D重合時，GE與G′E所組成的夾角的度數，最后依據扇形的弧長公式求解即可．

解答 解：（1）①∵ABCD為矩形，
∴DC∥AB．
∴∠DPE=∠BEP．
由翻折的性質可知：∠BEP=∠GEP．
∴∠DPE=∠GEP．
∴DP=DE．
②∵在Rt△ADE中，AD=AE=5，
∴DE=5$\sqrt{2}$，∠ADE=45°．
由折疊的性質可知：EG=EB=5，∠FGE=∠B=90°．
∴DG=DE-GE=5$\sqrt{2}$-5．
∵∠GDO=45°，∠DGO=90°，
∴△DGO為等腰直角三角形．
∴OG=DG=5$\sqrt{2}$-5．
由折疊的性質可知：GF=BC=5．
∴OF=5-（5$\sqrt{2}$-5）=10-5$\sqrt{2}$．
∵∠FOP=45°，∠F=90°，
∴△FOP為等腰直角三角形．
∴△FOP的周長=OF+PF+OP=（2+$\sqrt{2}$）OF=（2+$\sqrt{2}$）（10-5$\sqrt{2}$）=10．
（2）∵AD=AE=6，AB=6+2$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$．
由翻折的性質可知BE=EG=2$\sqrt{3}$．
∴點G在以E為圓心，以EG為半徑的圓弧上．

當點P與點C重合時，tan∠PEB=$\frac{PB}{EB}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴∠PEB=60°．
由翻折的性質可知∠BEG=2∠PEB=120°．
∴∠GEA=60°．
當點P′與點D重合時，∠P′EB=135°．
由翻折的性質可知：∠P′EG′=135°．
∴∠AEG′=90°．
∴∠GEG′=60°+90°=150°．
∴點G運動的路徑=$\frac{150π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=5π．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、翻折的性質、特殊銳角三角函數值的應用，扇形的弧長公式，求得∠GEG′的度數是解題的關鍵．