Question

15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，且$\frac{AE}{EC}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{2}$．求證：∠CEF=∠FAB．

Answer 1

分析 過F作FG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，則可證明△CEF∽△GAF，可證得結(jié)論．

解答 證明：
過F作FG⊥AB，交AB于點(diǎn)G，
∵AC=BC，且$\frac{AE}{EC}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴不妨設(shè)CF=1，則BF=CE=2，CB=3，
∵∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴FG=GB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\sqrt{2}$，
又AB=$\sqrt{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
∴AG=AB-BG=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CE}{AG}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{CF}{FG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{CE}{AG}$=$\frac{CF}{FG}$，且∠C=∠FGA，
∴△CEF∽△GAF，
∴∠CEF=∠FAB．

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．