Question

8．有一個n位自然數(shù)$\overline{abcd…gh}$能被x₀整除，依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)$\overline{bcd…gha}$能被x₀+1整除，再依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)$\overline{cd…ghab}$能被x₀+2整除，按此規(guī)律輪換后，$\overline{d…ghabc}$能被x₀+3整除，…，$\overline{habc…g}$能被x₀+n-1整除，則稱這個n位數(shù)$\overline{abcd…gh}$是x₀的一個“輪換數(shù)”．例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數(shù)60是5的一個“輪換數(shù)”． 再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數(shù)324是2個一個“輪換數(shù)”．
（1）請判斷：自然數(shù)24是“輪換數(shù)”，245不是“輪換數(shù)”（填“是”或“不是”）；
（2）若一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是m，十位數(shù)字是2m，求證：這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”．
（3）若三位自然數(shù)$\overline{abc}$是4的一個“輪換數(shù)”，其中b＜3，求這個三位自然數(shù)$\overline{abc}$．

Answer 1

分析 （1）分別判斷能否被兩個聯(lián)系的整數(shù)整除即可；
（2）表示出這個兩位自然數(shù)，和輪換兩位自然數(shù)，得到能整除即可；
（3）先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù)，再根據(jù)能被5整除，得出b的可能值，進而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

解答 解：（1）∵24是6的倍數(shù)，42是7的倍數(shù)，
∴自然數(shù)24是“輪換數(shù)”；
∵245的約數(shù)是5、7、7，452的約數(shù)有2、2、113；
當245被5整除時，而452不能被6整除；
當245被7整除時，而452不能被8
整除；
∴245不是“輪換數(shù)”．

（2）此兩位數(shù)為20m+m=21m=7m×3，是3的倍數(shù)； 輪換后為10m+2m=12m=4m×4，是4的倍數(shù)；
∴這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”．

（3）此三位數(shù)為：100a+10b+c
當b=0時，三位數(shù)為：100a+10b+c=100a+c，∵100a+c是4的倍數(shù)，而100a是4的倍數(shù)，
∴c是4的倍數(shù)，∴c=4或8；
若c=4，輪換后為40+a是5的倍數(shù)，∴a=5；
驗證：再次輪換后為450是6的倍數(shù)，即這個三位數(shù)為：504
若c=8，則三位數(shù)為：100a+8；
輪換后為80+a是5的倍數(shù)，∴a=5；
驗證：再次輪換后為850不是6的倍數(shù)，即c=8舍去
當b=1時，三位數(shù)為：100a+10+c，∵100a+10+c是4的倍數(shù)，而100a是4的倍數(shù)，
∴10+c是4的倍數(shù)，∴c=2或6；
若c=2，輪換后為100+20+a是5的倍數(shù)，∴a=5；
驗證：再次輪換后為251不是6的倍數(shù)，即c=2舍去；
若c=6，輪換后為100+60+a是5的倍數(shù)，∴a=5；
驗證：再次輪換后為651不是6的倍數(shù)，即c=6舍去
當b=2時，三位數(shù)為：100a+20+c，∵100a+20+c是4的倍數(shù)，而100a+20是4的倍數(shù)，
∴c是4的倍數(shù)，∴c=4或8；
若c=4，輪換后為200+40+a是5的倍數(shù)，∴a=5；
驗證：再次輪換后為452不是6的倍數(shù)，即c=4舍去；
若c=8，輪換后為200+80+a是5的倍數(shù)，∴a=5；
驗證：再次輪換后為852是6的倍數(shù)，即這個三位數(shù)為：528
綜上所述，這個三位數(shù)為：504、528．

點評 此題是數(shù)的整除性，主要考查了3的倍數(shù)，4的倍數(shù)，5的倍數(shù)的特點，解本題的關鍵是用5的倍數(shù)求出b的值．