Question

6．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=140°；
（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？說明理由．
（3）若點(diǎn)P在Rt△ABC斜邊BA的延長線上運(yùn)動（CE＜CD）如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接PC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）連接PC，方法與（1）相同；
（3）利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和討論求解即可．

解答 解：（1）如圖（1），連接PC，
由三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案為：140°；

（2）∠1+∠2=90°+∠α；理由如下：
連接PC，如圖（2），
由三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
（3）∠2-∠1=90°+∠α或∠2-∠1=90°-α．理由如下：
分情況討論：
①如圖（3），由三角形的外角性質(zhì)得：∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
②當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動至ED的延長線時(shí)，E，D，P三點(diǎn)共線，
此時(shí)∠DPE=0°，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
③當(dāng)P點(diǎn)繼續(xù)向右運(yùn)動，此時(shí)EP在DP上方，
則∠2-90°=∠1-α，
∴∠2-∠1=90°-α；
綜上所述：∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為∠2-∠1=90°+∠α或∠2-∠1=90°-α．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，平角的定義，解本題的關(guān)鍵是將∠1，∠2，α轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或四邊形中，是一道比較簡單的中考常考題．