Question

18．如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8$\sqrt{3}$，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重合，因為A、C關于BD對稱，所以當P與P′重合時，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解決問題．

解答 解：如圖作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周長為16，面積為8$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=4，AB•CE′=8$\sqrt{3}$，
∴CE′=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE′中，BE′=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵BE=EA=2，
∴E與E′重合，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C關于BD對稱，
∴當P與P′重合時，PA′+P′E的值最小，最小值為CE的長=2$\sqrt{3}$，
故答案為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、菱形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，本題的突破點是證明CE是△ABC的高，學會利用對稱解決最短問題．