Question

8．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)D（0，m）為y軸正半軸上一點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C（4，n）在拋物線上，且CE∥x軸．
（1）求m，n的值；
（2）連結(jié)CD并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)F，求$\frac{CD}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)C橫坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求得n的值，根據(jù)n的值可以求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)A坐標(biāo)，即可求得直線AE解析式，即可解題；
（2）易求得直線CD解析式，即可求得點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求得DF、CD的長(zhǎng)，即可解題．

解答 解：（1）∵拋物線上x=4時(shí)，y=$\frac{1}{4}$×16+$\frac{1}{2}$×4-2=4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，4），n=4，
∵當(dāng)y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=4時(shí)，解得：x=4或-6，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-6，4），
∵當(dāng)y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=0時(shí)，x=2或-4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{4=-6k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直線AE解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，1）；
（2）設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，
則代入C、D點(diǎn)得：$\left\{\begin{array}{l}{4=4k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=1，
∴直線CD解析式為y=$\frac{3}{4}$x+1，
當(dāng)y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=$\frac{3}{4}$x+1時(shí)，化簡(jiǎn)得：x²-x-12=0，
解得：x=4或-3，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，-$\frac{5}{4}$），
∴DF=$\sqrt{{{3}^{2}+（1+\frac{5}{4}）}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
CD=$\sqrt{{4}^{2}{+（4-1）}^{2}}$=5，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了代入法就拋物線解析式的方法，考查了一次函數(shù)解析式的求解，本題中求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．