Question

20．已知四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與BC，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，線段AE，EF，AF之間存在什么數(shù)量關(guān)系，并加以說明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），（1）中線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系仍成立嗎？請給予證明．

Answer 1

分析 （1）連接AC，利用菱形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，進(jìn)而可得△ABC，△ADC是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，再證明AF⊥CD，根據(jù)菱形的高相等可得AE=AF，進(jìn)而可得AE=EF=AF；
（2）連接AC，證明△BAE≌△CAF可得AE=AF，再由∠EAF=60°，可得AE=EF=AF．

解答 解：（1）結(jié)論AE=EF=AF．
理由：如圖1中，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF．

（2）證明：（1）中線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立，即AE=EF=AF，
如圖2中，連接AC，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{BA=CA}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴AE=EF=AF．

點(diǎn)評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊形相等，掌握有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．