Question

16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以N、N為圓心，大于$\frac{1}{2}$MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長BC于點(diǎn)D．過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，連接CE．
求證：（1）AD平分∠BAC；
      （2）AD垂直平分CE．

Answer 1

分析 （1）連接NP，MP，根據(jù)SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出結(jié)論；
（2）連接CE，易證△ACD≌△AED，由此可得AC=AE，又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以AD⊥CD，AD平分CE，即AD垂直平分CE．

解答 證明：（1）連接NP，MP，
在△ANP與△AMP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AN=AM}\\{NP=NP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）連接CE，
在△ACD和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠ACD=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AD=AE，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CD，AD平分CE，
即AD垂直平分CE．

點(diǎn)評 此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)得到AC=AE，即△ACE是等腰三角形．