Question

12．如圖，以平行四邊形ABCD的邊分別向外作等邊三角形ADE和BCF
（1）求證：四邊形DEBF為平行四邊形；
（2）當(dāng)以平行四邊形ABCD的邊分別向外作以AD、BC為底的等腰三角形時，上述結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（3）結(jié)合（1）（2）提出一個新的問題使四邊形DEBF為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定方法：兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）利用（1）中所求，結(jié)合無法得出△EAB≌△DCF，故無法得出BE=FD，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）利用（1）中所求，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠DCB，
∵以AD、BC為邊分別向外作等邊△ADE和等邊△BCF，
∴AD=DE=AE，BF=BC=FC，
∴AE=CF，
∵∠EAB=∠DAB+∠DAE，∠DCF=∠DCB+∠BCF，
∴∠EAB=∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE=FD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)以平行四邊形ABCD的邊分別向外作以AD、BC為底的等腰三角形時，上述結(jié)論不成立，
∵等腰三角形的腰長不確定，則無法得出△EAB≌△DCF，故無法得出BE=FD，則無法得出四邊形DEBF是平行四邊形；

（3）解：當(dāng)以平行四邊形ABCD的邊分別向外作以AD、BC為斜邊的等腰直角三角形時，四邊形DEBF為平行四邊形．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠DCB，
∵以AD、BC為斜邊分別向外作等腰直角三角形ADE和等腰直角三角形BCF，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BF=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴AE=CF，
∵∠EAB=∠DAB+∠DAE，∠DCF=∠DCB+∠BCF，
∴∠EAB=∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE=FD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的判定方法，并且靈活運用判定方法．