Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的斜邊OA在x軸的正半軸上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，OB=2$\sqrt{5}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若△AMB與△AOB關(guān)于直線AB對(duì)稱，一次函數(shù)y=mx+n的圖象過(guò)點(diǎn)M、A，求一次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)BD=a，通過(guò)解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出關(guān)于a的方程并解答即可；
（2）欲求直線AM的表達(dá)式，只需推知點(diǎn)A、M的坐標(biāo)即可．通過(guò)解直角△AOB求得OA=5，則A（5，0）．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到：OM=2OB，結(jié)合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，
設(shè)BD=a，
∵tan∠AOB=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2BD．
∵∠ODB=90°，OB=2$\sqrt{5}$，
∴a²+（2a）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得a=±2（舍去-2），
∴a=2．
∴OD=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，OB=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∴A（5，0）．
又△AMB與△AOB關(guān)于直線AB對(duì)稱，B（4，2），
∴OM=2OB，
∴M（8，4）．
把點(diǎn)M、A的坐標(biāo)分別代入y=mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=0}\\{8m+n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
故一次函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．