Question

13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），某拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（-1，1）且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，連接AB，直線AB與拋物線相交于點(diǎn)C，則S_△ABO：S_△BCD=（　　）

• A． 1：8
• B． 1：6
• C． 1：4
• D． 1：3

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）²+1，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式解出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段BC、AB的長(zhǎng)度，再借用點(diǎn)到直線的距離公式尋找到點(diǎn)D、O到直線AB的距離間的關(guān)系，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）²+1，
將點(diǎn)A（1，0）、B（0，2）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-2x+2，
將點(diǎn)B（0，2）代入到y(tǒng)=a（x+1）²+1中得，
2=a+1，
解得：a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）²+1=x²+2x+2．
將y=-2x+2代入y=x²+2x+2中得，
-2x+2=x²+2x+2，
整理得：x²+4x=0，
解得：x₁=-4，x₂=0，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，10）．
∵點(diǎn)C（-4，10），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A（1，0），
∴AB=$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
∴BC=4AB．
∵直線AB解析式為y=-2x+2可變形為2x+y-2=0，
∴|-2+1-2|=3，|-2|=2．
∴S_△ABO：S_△BCD=2：12=1：6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．