Question

18．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（ $\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C
（1）求拋物線的解析式；
（2）求出線段PC長度的最大值
（3）是否存在點P，使△APC為直角三角形？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由B（4，m）在直線y=x+2上，求得點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）首先設動點P的坐標為（n，n+2），則點C的坐標為：（n，2n²-8n+6），即可得PC=（n+2）-（2n²-8n+6），繼而求得答案；
（3）分別從若A為直角頂點與若C為直角頂點，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴點B（4，6），
∵A（ $\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6）在拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}=（\frac{1}{2}）^{2}a+\frac{1}{2}b+6}\\{6=16a+4b+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=2x²-8x+6；

（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則點C的坐標為：（n，2n²-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{49}{8}$，
∴當n=$\frac{9}{4}$時，線段PC最大，最大值為：$\frac{49}{8}$；

（3）存在．
易得點P不能是直角頂點．
①若A為直角頂點，如圖1，
設AC的解析式為：y=-x+b，
將A點代入y=-x+b得b=3
∴AC的解析式為y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$（舍去）
令P點的橫坐標為3，則縱坐標為5，
∴P（3，5）；
②若C為直角頂點，如圖2，
令2x²-8x+6=$\frac{5}{2}$，解得：x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{1}{2}$（舍去），
令P點的橫坐標為$\frac{7}{2}$，則縱坐標為$\frac{11}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）；
綜上可得：點P的坐標為：（3，5），（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及直角三角形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．