Question

19．已知平面直角坐標(biāo)系中有點A（-2，1），B（2，3）
（1）在x軸上找一點P，使|PA-PB|的值最大，并求出點P的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點M，使MA+MB的值最小，并求出點M的坐標(biāo)；
（3）在x軸上找一點N，使△ABN為等腰三角形，通過畫圖說明使△ABN為等腰三角形的點N有多少個（不求N點坐標(biāo)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩邊之差小于第三邊得到P位于直線AB與x軸交點的位置時，|PA-PB|最大，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標(biāo)代入，求出k與b的值，確定出直線AB解析式，令y=0求出對應(yīng)x的值，確定出P的坐標(biāo)；
（2）利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于點M，點M即為所求．根據(jù)A（-2，1），B（2，3）兩點的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，再根據(jù)x軸上的點的坐標(biāo)特征求出點M的坐標(biāo)．
（3）以點A為圓心，AB長為半徑交x軸于兩點；以點B為圓心，AB長為半徑交x軸于兩點；AB的垂直平分線交x軸于一點，點N共5個．

解答 解：（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（-2，1），B（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直線AB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令y=0，解得x=4，
即P坐標(biāo)為（4，0）時，|PA-PB|最大；

（2）點A關(guān)于x軸的對稱點A′（-2，-1），
直線A′B的解析式為y=x+1．
點M為直線A′B與x軸的交點，
∴點M的坐標(biāo)為（-1，0）．

（3）如圖所示：使△ABN為等腰三角形的點N有5個．

點評 此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了一次函數(shù)的知識．同時考查了等腰三角形的作圖方法．