Question

9．如圖，直線y=-x-2交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=a（x-h）²的頂點為A，且經(jīng)過點B．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若點C（m，-$\frac{9}{2}$）在該拋物線上，求m的值；
（3）請在拋物線的對稱軸上找一點P，使PO+PB的值最小，求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用x軸上的點y坐標為0，y軸上的點x坐標為0代入直線的表達式求出A、B點的坐標，再利用頂點坐標式待定系數(shù)法求出拋物線的表達式；
（2）把x=m時，y=-$\frac{9}{2}$代入拋物線的表達式求出m；
（3）點B關(guān)于對稱軸x=-2的對稱點B′，連接OB′，OB′與對稱軸的交點即為點P，利用直線OB′與對稱軸的交點的求法即可得到點P的坐標．

解答 解：（1）由直線y=-x-2，
令x=0，則y=-2，
∴點B坐標為（0，-2），
令y=0，則x=-2，
∴點A坐標為（-2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線頂點為A，且經(jīng)過點B，
∴y=a（x+2）²，
∴-2=4a，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）²，
即y=-$\frac{1}{2}$x²-2x-2；

（2）∵點C（m，-$\frac{9}{2}$）在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-2x-2上，
∴-$\frac{1}{2}$m²-2m-2=-$\frac{9}{2}$，
∴m²+4m-5=0，
解得m₁=1，m₂=-5；

（3）點B關(guān)于對稱軸x=-2的對稱點B′，連接OB′，OB′與對稱軸的交點即為點P，
∵點B坐標為（0，-2），對稱軸是x=-2，
∴B′（-4，-2），
則直線OB′的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
故P（-2，-1）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)和二次函數(shù)的知識求解．