Question

10．△ABC中，∠C=80°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．．
（1）若點P在邊AB上，且∠α=50°，如圖1，則∠1+∠2=130°；
（2）若點P在邊AB上運動，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為∠1+∠2=80°+∠α．
（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖3，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由

Answer 1

分析 （1）連接CP，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根據(jù)∠1+∠2=∠ACB+∠DPE進行計算即可；
（2）連接CP，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠EPC，再根據(jù)∠1+∠2=∠ACB+∠DPE進行計算即可得到∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1=∠C+∠CMD，∠CMD=∠2+∠α，進而得到∠1=∠C+∠2+∠α，據(jù)此可得∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1，連接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°，

故答案為：130°；

（2）如圖，連接CP，
∵∠1是△CDP的外角，
∴∠1=∠DCP+∠DPC，
同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，
∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α，

故答案為：∠1+∠2=80°+∠α；

（3）∠1=80°+∠2+∠α，理由如下：

如圖3，∵在△CDM中，∠1=∠C+∠CMD，
在△EMP中，∠CMD=∠2+∠α，
∴∠1=∠C+∠2+∠α，
即∠1=80°+∠2+∠α．

點評 本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，解題時注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．