Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點M是BC的中點，點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；同時點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動，在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作正方形PQEF，使它與矩形ABCD在BC的同側(cè)，點P，Q同時出發(fā)，當點P返回點M時，則兩點停止運動，設(shè)點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當點P運動到BM的中點時，t=1或3；
（2）設(shè)正方形PQEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；
（3）連結(jié)AC，當正方形PQEF與△ADC重疊部分為三角形時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出BM=$\frac{1}{2}$BC=2，當點P第一次運動到BM的中點時，PM=$\frac{1}{2}$BM=1，得出t=1；當點P第二次運動到BM的中點時，運動的路程=3，得出t=3即可；
（2）分為三種情況：①當0＜t≤1.5時，PQ=2t，由正方形面積公式即可得出答案；
②當1.5＜t≤2時得出PQ=2t，AB=3，由矩形面積即可得出答案；
③當2＜t≤4時，求出PC=6-t，AB=3，由矩形面積即可得出答案；
（3）當點E在AC上時，得出△CEQ∽△CAB，得出對應邊成比例，即可得出t的值；當F在AC上時，△CPF∽△CBA，得出對應邊成比例，即可得出t的值；當點F在EA的延長線上時，點E在CD的延長線上，此時t=2；即可得出答案．

解答 解：（1）∵BC=4，點M是BC的中點，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=2，
當點P第一次運動到BM的中點時，PM=$\frac{1}{2}$BM=1，
∴t=1；
當點P第二次運動到BM的中點時，運動的路程=2+1=3，
∴t=3；
故答案為：1或3；

（2）分為三種情況：
①如圖1，當0＜t≤1.5時，
∵PQ=2t，
∴S=（2t）²，
∴S=4t²；
②如圖2，
當1.5＜t≤2時，
∵PQ=2t，AB=3，
∴S=6t；
③如圖3，
當2＜t≤4時，
∵PC=6-t，AB=3，
∴S=-3t+18；

（3）如圖4，
當點E在AC上時，
∵△CEQ∽△CAB，
∴$\frac{EQ}{AB}=\frac{CQ}{BC}$，
∴$\frac{2t}{3}=\frac{2-t}{4}$，
∴t=$\frac{6}{11}$，
當F在AC上時，
∵△CPF∽△CBA，
∴$\frac{PF}{AB}=\frac{CP}{BC}$，
∴$\frac{2t}{3}=\frac{t+2}{4}$，
∴t=$\frac{6}{5}$；當點F在EA的延長線上時，點E在CD的延長線上，此時t=2；
∴t的取值范圍是$\frac{6}{11}$＜t≤$\frac{6}{5}$或t=2．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．