Question

11．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O分別交AC、BC于D、E，延長AC至F，連結(jié)BF，若∠CAB=2∠FBC．
（1）求證：BF為⊙O的切線；
（2）連BD、AE交于H．若AB=10，tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BH．

Answer 1

分析 （1）連接AE，由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，等量代換得到∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°，于是得到結(jié)論；
（2）由AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=∠ADB=90°由（1）得∠EAB=∠CBF，于是得到tanEBH=tan∠EAB=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵AB=AC，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠EAB=∠CBF，
∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠ADB=90°．
∵∠BHE=∠AHD，
∴∠DAH=∠EBH，
∵AB=AC，
∴∠DAH=∠EAB，
由（1）得∠EAB=∠CBF，
∴tan∠EBH=tan∠EAB=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，
∵AB=10，
由勾股定理得BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BEH中，由勾股定理得BH=5．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．