Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點B、與y軸交于點A，與反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象在第二象限交于C，CE⊥x軸，垂足為點E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若點D是反比例函數圖象在第四象限內的點，過點D作DF⊥y軸，垂足為點F，連接OD、BF．如果S_△BAF=4S_△DFO，求點D的坐標．
（3）若動點D在反比例函數圖象的第四象限上運動，當線段DC與線段DB之差達到最大時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，則可求得C點坐標，代入反比例函數解析式可求得m的值，可求得反比例函數解析式；
（2）設出D的坐標，從而可分別表示出△BAF和△DFO的面積，由條件可列出方程，從而可求得D點坐標；
（3）在△BCD中，由三角形三邊關系可知CD-CB≤BC，當B、C、D三點共線時，其差最大，聯立直線BC與反比例函數解析式可求得D點坐標．

解答 解：
（1）∵tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，且OB=4，
∴OA=2，
∵CE⊥x軸，即CE∥AO，
∴△AOB∽△CEB，
∴$\frac{AO}{CE}$=$\frac{BO}{BE}$，即$\frac{2}{CE}$=$\frac{4}{4+2}$，解得CE=3，
∴C（-2，3），
∴m=-2×3=-6，
∴反比例函數解析式為y=-$\frac{6}{x}$；

（2）設D（x，-$\frac{6}{x}$），
∵D在第四象限，
∴DF=x，OF=$\frac{6}{x}$，
∴S_△DFO=$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$x×$\frac{6}{x}$=3，
由（1）可知OA=2，
∴AF=2+$\frac{6}{x}$，
∴S_△BAF=$\frac{1}{2}$AF•OB=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{6}{x}$）×4=2（2+$\frac{6}{x}$），
∵S_△BAF=4S_△DFO，
∴2（2+$\frac{6}{x}$）=4×3，解得x=1.5，
當x=1.5時，-$\frac{6}{x}$的值為-4，
∴D（1.5，-4）；
（3）∵D在第四象限，
∴在△BCD中，由三角形三邊關系可知CD-CB≤BC，即當B、C、D三點共線時，其差最大，
設直線AB解析式為y=kx+b，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
聯立直線AB和反比例函數解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴D（6，-1），
即當線段DC與線段DB之差達到最大時求點D的坐標為（6，-1）．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及相似三角形的判定和性質、待定系數法、三角形的面積、函數圖象的交點、三角形的三邊關系等知識．在（1）中求得C點坐標是解題的關鍵，在（2）中用D點坐標表示出△BAF和△DFO的面積是解題的關鍵，在（3）中確定出D為直線AB與反比例函數的交點是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．