Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC與⊙O相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，且DE=DA，AE與BC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：FD=DC；
（2）若AE=8，DE=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由切線的性質(zhì)得BA⊥AC，則∠2+∠BAD=90°，再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則∠B+∠BAD=90°，所以∠B=∠2，接著由DA=DE得到∠1=∠E，由圓周角定理得∠B=∠E，所以∠1=∠2，可判斷AF=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得FD=DC；
（2）作DH⊥AE于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AH=EH=

1

2

AE=4，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DH=3，然后證明△BDA∽△EHD，利用相似比可計(jì)算出AB=

25

3

，從而可得⊙O的半徑．

解答：（1）證明：∵AC是⊙O的切線，
∴BA⊥AC，
∴∠2+∠BAD=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠2，
∵DA=DE，
∴∠1=∠E，
而∠B=∠E，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=AC，
而AD⊥CF，
∴FD=DC；
（2）解：作DH⊥AE于H，如圖，
∵DA=DE=5，
∴AH=EH=

1

2

AE=4，
在Rt△DEH中，DH=

DE2-EH2

=3，
∵∠B=∠E，∠ADB=∠DHE=90°，
∴△BDA∽△EHD，
∴

AB

DE

=

AD

DH

，即

AB

5

=

5

3

，
∴AB=

25

3

，
∴⊙O的半徑為

25

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．