Question

9．在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1（k≠0）與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）相交于點(diǎn)P（1，m）
（1）求k的值；
（2）若雙曲線上存在一點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x對稱，直線y=kx+1與x軸交于點(diǎn)A，求△APQ的面積．

Answer 1

分析 （1）將P的坐標(biāo)代入雙曲線中求出m的值，然后將P的坐標(biāo)代入直線解析式中求出k的值．
（2）求出P關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)Q，然后利用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用S_△APQ=S_△APB-S_△AQB即可求出答案．

解答 解：（1）將x=1代入y=$\frac{2}{x}$，
∴y=2，
∴P（1，2）
∴將P（1，2）代入y=kx+1
∴k=1，

（2）易知P（1，2）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為Q（2，1）
設(shè)直線PQ的解析式為：y=kx+b，
將P、Q的坐標(biāo)代入上式，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴直線PQ的解析式為：y=-x+3
設(shè)直線PQ與x軸交于點(diǎn)B，
∴令y=0代入y=-x+3
∴x=3，
∴B（3，0）
∴S_△APQ=S_△APB-S_△AQB
=$\frac{1}{2}$×4×（2-1）
=2

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，本題屬于中等題型．