Question

17．如圖，△ABC是學(xué)生小金家附近的一塊三角形綠化區(qū)的示意圖，為增強體質(zhì)，他每天早晨都沿著綠化區(qū)周邊小路AB、BC、CA跑步（小路的寬度不計），觀測得點在點A的南偏東30°方向上，點C在點A的南偏東60°的方向上，點B在點C的北偏西75°方向上，AC間距離為400米，問：
（1）分別求BC和AB多少米？
（2）小金沿三角形綠化區(qū)的周邊小路跑一圈共跑了多少米？（結(jié)果都保留根號）

Answer 1

分析 （1）延長AB至D點，作CD⊥AD于D，根據(jù)題意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠DBC=∠DCB=45°，然后在Rt△ADC中，求得CD=BD=200米后即可求得BC和AB的長；
（2）根據(jù)（1）求得三角形ABC的周長．

解答 解：（1）過點C作CD⊥AB交AB延長線于一點D，
根據(jù)題意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，
故∠DBC=∠DCB=45°，
在Rt△ADC中，
∵AC=400米，∠BAC=30°，
∴CD=BD=200米，
∴BC=200$\sqrt{2}$米，AD=200$\sqrt{3}$米
∴AB=AD-BD=（200$\sqrt{3}$-200）米，

（2）三角形ABC的周長為400+200$\sqrt{2}$+（200$\sqrt{3}$-200）≈829米
小金沿三角形綠化區(qū)的周邊小路跑一圈共跑了約829米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形模型并求解．