Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點M在AC邊上，且AM=2，MC=6，動點P在AB邊上，連接PC，PM，則PC+PM的最小值是2$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 根據平面內線段最短，構建直角三角形，解直角三角形即可．

解答 解：如圖，過點作CO⊥AB于O，延長BO到C'，使OC'=OC，連接MC'，交AB于P，
此時PC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，
連接AC'，
∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACO=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵CO=OC'，CO⊥AB，
∴AC'=CA=AM+MC=8，
∴∠OC'A=∠OCA=45°，
∴∠C'AC=90°，
∴C'A⊥AC，
∴MC′=$\sqrt{A{M}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴PC+PM的最小值為2$\sqrt{17}$．
故答案為：2$\sqrt{17}$．

點評 本題考查了線路最短的問題，確定動點P為何位置時，使PC+PM的值最小是關鍵．