Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑AB上一點(diǎn)，若⊙O的半徑為2，則PC+PD的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AB于點(diǎn)P′，連接OC，OE，則DP+CP最小，根據(jù)解直角三角形求出CE，根據(jù)軸對(duì)稱求出DP′+CP′=CE即可．

解答 解：作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AB于點(diǎn)P′，連接OC，OE，
則根據(jù)垂徑定理得：E在⊙O上，連接EC交AB于P′，則若P在P′時(shí)，DP+CP最小，
∵C是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∵D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠COE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$OC=2$\sqrt{2}$，
即DP+CP=2$\sqrt{2}$，
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．