Question

17．將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（$\sqrt{3}$，0），點B（0，3），點O（0，0）
（1）過邊OB上的動點D（點D不與點B，O重合）作DE丄OB交AB于點E，沿著DE折疊該紙片，點B落在射線BO上的點F處．
①如圖，當(dāng)D為OB中點時，求E點的坐標(biāo)；
②連接AF，當(dāng)△AEF為直角三角形時，求E點坐標(biāo)；
（2）P是AB邊上的動點（點P不與點B重合），將△AOP沿OP所在的直線折疊，得到△A′OP，連接BA′，當(dāng)BA′取得最小值時，求P點坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）①由D為OB中點結(jié)合DE∥OA，可得出DE為△BOA的中位線，再根據(jù)點A、B的坐標(biāo)即可得出點E的坐標(biāo)；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合角的計算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°兩種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，找出當(dāng)點A′在y軸上時，BA′取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出直線OP的解析式，再根據(jù)點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）①∵DE⊥OB，OA⊥OB，
∴DE∥OA．
∵D為OB中點，
∴DE為△BOA的中位線，
∴點E為線段A、B的中點，
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
②由折疊可知：△BDE≌△FDE，
∴∠EFB=∠ABO=30°，DF=BD，
∴∠AEF=∠ABO+∠BFE=60°≠90°．
∵△AEF是直角三角形，
∴∠AFE=90°或∠EAF=90°．
（i）當(dāng)∠AFE=90°時，如圖1所示．
∠AFO=180°-∠AFE-∠EFB=60°．
在Rt△AOF中，∠AFO=60°，AO=$\sqrt{3}$，
∴∠FAO=30°，AF=2OF，
∵$\sqrt{A{F}^{2}-O{F}^{2}}$=AO，
∴OF=1，AF=2．
在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF=BD=$\frac{OB-OF}{2}$=1，
∴EF=2DE，
∵$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=DF=1，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵OD=OF+DF=2．
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2）；
（ii）當(dāng)∠EAF=90°時，如圖2所示．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∴∠FAO=∠EAF-∠BAO=30°．
在Rt△AOF中，∠FAO=30°，AO=$\sqrt{3}$，
∴AF=2OF，
∵$\sqrt{A{F}^{2}-O{F}^{2}}$=AO，
∴OF=1，AF=2．
在Rt△DEF中，∠DFE=30°，DF=$\frac{OB+OF}{2}$=2，
∴EF=2DE，
∵$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=DF，
∴DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵OD=DF-OF=1，
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1）．
綜上所述：當(dāng)△AEF為直角三角形時，E點坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1）．
（2）由折疊可知：△AOP≌△A′OP，
∴OA′=OA=$\sqrt{3}$，∠AOP=∠A′OP，
又∵OB=3，
∴當(dāng)點A′在y軸上時，BA′取最小值，如圖3所示．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOP=45°，
∴直線OP的解析式為y=x．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（$\sqrt{3}$，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3．
聯(lián)立直線OP、AB的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\sqrt{3}x+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)BA′取得最小值時，P點坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．

點評 本題考查了三角形的中位線、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）①找出DE為△BOA的中位線；②分∠AFE=90°和∠EAF=90°兩種情況求點E的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系找出BA′取得最小值點A′的位置．