Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，CB=6，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，且BD=2，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿著DC向終點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿著折線C-B-A往終點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．以PQ為直徑構(gòu)造⊙O，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t≥0）秒．
（1）當(dāng)0≤t＜3時(shí)，用含t的代數(shù)式表示BQ的長(zhǎng)度．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段CB上時(shí)，求⊙O和線段AB相切時(shí)t的值．
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，
①點(diǎn)O是否會(huì)出現(xiàn)在△ABC的內(nèi)角平分線上？若存在，
求t的值；若不存在，說明理由．
②直接寫出點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由題意BQ=BC-CQ=6-2t；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)P，Q還未相遇時(shí)，如圖1，②當(dāng)P，Q相遇后，如圖2，分別構(gòu)建方程即可；
（3）①分三種情形討論i）當(dāng)點(diǎn)O在∠B的角平分線上時(shí)，如圖3．ii）當(dāng)點(diǎn)O在∠C的角平分線上時(shí)，如圖4，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H．iii）當(dāng)點(diǎn)O在∠A的角平分線上時(shí)，如圖5，作∠A的角平分線交BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)H做HI⊥AB于I．分別構(gòu)建方程即可．
②由題意點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為（6-4-$\frac{1}{2}$）+$\sqrt{（\frac{11}{2}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{3+\sqrt{185}}{2}$．

解答 解：（1）由題意BQ=BC-CQ=6-2t，
故答案為6-2t．

（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)P，Q還未相遇時(shí)，如圖1，

CQ=2t，DP=t，QP=8-3t，OE=$\frac{1}{2}$QP=$\frac{8-3t}{2}$，
OB=BP+OP=$\frac{8-3t}{2}$+$\frac{2（t-2）}{2}$=$\frac{4-t}{2}$，
∵⊙O與AB相切，
∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{\frac{8-3t}{2}}{\frac{4-t}{2}}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{24}{11}$．
②當(dāng)P，Q相遇后，如圖2，

BQ=6-2t，PQ=BP-BQ=（t-2）-（6-2t）=3t-8，
OE=$\frac{1}{2}$QP=$\frac{3t-8}{2}$，OB=OQ+BQ=$\frac{4-t}{2}$，
∵⊙O與AB相切，∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{\frac{3t-8}{2}}{\frac{4-t}{2}}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{56}{19}$．
綜上所述，滿足條件的t的值有t=$\frac{24}{11}$s或$\frac{56}{19}$s．

（3）①i）當(dāng)點(diǎn)O在∠B的角平分線上時(shí)，如圖3，

可得BQ=BP，即2t-6=t-2，解得t=4．

ii）當(dāng)點(diǎn)O在∠C的角平分線上時(shí)，如圖4，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H．

則GQ=AQ•sin∠BAC=$\frac{3}{5}$AQ=$\frac{3（16-2t）}{5}$，
同理可得GC=QH=$\frac{4}{5}$BQ=$\frac{4（2t-6）}{5}$，
在梯形CPQG中，OF是中位線，則OF=$\frac{1}{2}$（GQ+CP）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（16-2t）}{5}$+（8-t）]=$\frac{88-11t}{10}$，
∵點(diǎn)O在∠C的角平分線上，∴CF=OF．
$\frac{88-11t}{10}$=$\frac{2（2t-6）}{5}$，解得t=$\frac{112}{19}$．
iii）當(dāng)點(diǎn)O在∠A的角平分線上時(shí)，如圖5，作∠A的角平分線交BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)H做HI⊥AB于I，

則HI=CH．
∵sin∠ABC=$\frac{HI}{HB}=\frac{AC}{AB}$，則$\frac{HI}{HB}$=$\frac{4}{5}$，
∴CH=HI=$\frac{8}{3}$，∴tan∠CAH=$\frac{1}{3}$，
由ii）中得OF=（GQ+CP）=$\frac{88-11t}{10}$，
CF=$\frac{2（2t-6）}{5}$，AF=AC-CF=$\frac{52-4t}{5}$，
∴tan∠CAH=$\frac{OF}{AF}=\frac{{\frac{88-11t}{10}}}{{\frac{52-4t}{5}}}=\frac{1}{3}$，解得t=$\frac{32}{5}$．
綜上所述，當(dāng)t=4s或$\frac{112}{19}$s或$\frac{32}{5}$s時(shí)，點(diǎn)O會(huì)出現(xiàn)在△ABC的內(nèi)角平分線上．
②由題意點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為（6-4-$\frac{1}{2}$）+$\sqrt{（\frac{11}{2}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{3+\sqrt{185}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、角平分線的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．