Question

在△ABC中，AD是中線，DM是∠ADB的平分線，交AB于M，DN是∠ADC的平分線交AC于N點．求證：BM+CN＞MN．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：延長ND至P，使DP=ND，連結(jié)MP、BP，易證△BDP≌△CDN，根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，線段中垂線定理可得MN=MP，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．

解答：證明：延長ND至P，使DP=ND，連結(jié)MP、BP，


∵點D為BC的中點，
∴BD=CD，
在△BDP與△CDN中，

PD=ND ∠CDN=∠BDP CD=BD

，
∴△BDP≌△CDN（SAS），
∴PB=CN，
∵MD⊥PN，DP=DN，
∴MN=MP（線段中垂線定理），
∵BM+BP＞MP，
∴BM+CN＞MN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BDP≌△CDN是解題的關(guān)鍵．