Question

14．如圖，A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）是一次函數(shù)y₁=ax+b與反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D．
（1）根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，y₁-y₂＞0？
（2）求一次函數(shù)解析式及m的值；
（3）P是線段AB上一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)-4＜x＜-1時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方；
（2）先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{m}{x}$可計(jì)算出m的值；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），利用三角形面積公式可得到$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（m+4）=$\frac{1}{2}$•1•（2-$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$），解方程得到m=-$\frac{5}{2}$，從而可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y₁-y₂＞0，
即：y₁＞y₂，
∴一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象在反比例函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$圖象的上面，
∵A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）
∴當(dāng)-4＜x＜-1時(shí)，y₁-y₂＞0；

（2）∵y₂=$\frac{m}{x}$圖象過(guò)B（-1，2），
∴m=-1×2=-2，
∵y₁=ax+b過(guò)A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=\frac{1}{2}}\\{-a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為；y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，

（3）設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$），過(guò)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴PM=$\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{2}$，PN=-m，
∵△PCA和△PDB面積相等，
∴$\frac{1}{2}AC•CM=\frac{1}{2}$BD•DN，
即；$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（m+4）=\frac{1}{2}×1×（2-\frac{1}{2}m-\frac{5}{2}）$，
解得m=-$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．