Question

如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．
（1）求證：∠GAE=45°；
（2）若AB=6，且CD=3DE，請說明此時BG=CG．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）證明△ABG≌△AFG，得到∠BAG=∠FAG，借助∠DAE=∠FAE即可解決問題．
（2）證明BG=GF（設(shè)為λ），得到CG=6-λ；求出DE=2，得到CE=4，EF=DE=2；借助勾股定理得到（λ+2）²=（6-λ）²+4²，求出λ，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°；
由題意得：∠AFE=∠D=90°，
∠DAE=∠FAE，AF=AD，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°；
在△ABG與△AFG中，

AB=AF ∠B=∠AFG AG=AG

，
∴△ABG≌△AFG（SAS），
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=

1

2

∠BAD=45°．
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG=GF（設(shè)為λ），CG=6-λ；
∵CD=AB=6，CD=3DE，
∴DE=2，CE=4，EF=DE=2；
由勾股定理得：GE²=CG²+CE²，
即（λ+2）²=（6-λ）²+4²，
解得：λ=3，
∴CG=6-3=3，
∴BG=CG．

點評：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．