Question

13．已知a，b，c三個(gè)數(shù)均為非零實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的方程a（x²+2x-1）²+b（x²+2x-1）+c=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根之和為-3．

Answer 1

分析 令t=x²+2x-1，則原方程可化為at²+bt+c=0①，可得①有兩個(gè)不相等的根t=$\frac{*b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，可得x²+2x-1=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$或x²+2x-1=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，這兩個(gè)方程有1個(gè)方程有兩個(gè)相等的根，x²+2x-1-$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=0②或x²+2x-1-$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=0③，分兩種情況：方程②有兩個(gè)相等的根x₁，方程③有兩個(gè)不相等的根x₂，x₃；方程③有兩個(gè)相等的根，則方程2有兩個(gè)不相等的根；進(jìn)行討論即可求解．

解答 解：令t=x²+2x-1，
則原方程可化為at²+bt+c=0①，
∴①有兩個(gè)不相等的根t=$\frac{*b±\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
∴x²+2x-1=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$或x²+2x-1=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
這兩個(gè)方程有1個(gè)方程有兩個(gè)相等的根，
x²+2x-1-$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=0②或x²+2x-1-$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=0③，
若方程②有兩個(gè)相等的根x₁，則方程③有兩個(gè)不相等的根x₂，x₃，
x₁=-$\frac{2}{2}$=-1，x₂+x₃=-$\frac{2}{1}$=-2，
x₁+x₂+x₃=-3；
若方程③有兩個(gè)相等的根，則方程2有兩個(gè)不相等的根，
仍有x₁+x₂+x₃=-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評 本題考查根的判別式，一元二次方程的解等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．