Question

4．如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊DC，AD上一點．
（1）若EF=BE，∠ABF=30°，AF=3，求CE的長；
（2）若BF是∠ABE的平分線，求證：BE-AF=CE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF=2AF=6，進而根據(jù)勾股定理得出AB=3$\sqrt{3}$，連接EF，設(shè)CE=x，則DE=3$\sqrt{3}$-x，DF=3$\sqrt{3}$-3，根據(jù)EF=BE，得出（3$\sqrt{3}$-3）²+（3$\sqrt{3}$-x）²=（3$\sqrt{3}$）²+x²，解得x的值即可；
（2）延長EC到G，使CG=AF，連接BG，通過△BAF≌△BCG得出∠G=∠AFB，∠ABF=∠CBG，進而根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABF=∠FBE=∠CBG，從而得出∠EBG=∠FBC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AFB=∠FBC，進而得出∠EBG=∠G，根據(jù)等角對等邊即可證得BE=EG=EC+CG=EC+AF，得出結(jié)論．

解答 解：（1）在RT△ABF中，∵∠ABF=30°，AF=3，
∴BF=2AF=6，
∴AB=$\sqrt{B{F}^{2}-A{F}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
連接EF，設(shè)CE=x，則DE=3$\sqrt{3}$-x，DF=3$\sqrt{3}$-3，
∵EF=BE，
∴（3$\sqrt{3}$-3）²+（3$\sqrt{3}$-x）²=（3$\sqrt{3}$）²+x²，
解得x=2$\sqrt{3}$-3，
∴CE=2$\sqrt{3}$-3；
（2）延長EC到G，使CG=AF，連接BG，
在△BAF和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠A=∠BCG=90°}\\{AF=CG}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△BCG（SAS），
∴∠G=∠AFB，∠ABF=∠CBG，
∵BF是∠ABE的平分線，
∴∠ABF=∠FBE=∠CBG，
∴∠EBG=∠FBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠EBG=∠G，
∴BE=EG=EC+CG=EC+AF，
∴BE-AF=CE．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．