Question

9．如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸交于A（m，0），B（n，0），點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，且m，n是一元二次方程x²+2x-3=0的兩個(gè)根，與y軸交于C（0，3）．在拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 解方程求得A和B的坐標(biāo)，求得對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，求得過(guò)A于AC垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，然后判斷是否是等腰三角形；同理當(dāng)C是直角頂點(diǎn)時(shí)利用相同的方法判斷；當(dāng)AC是等腰三角形的底邊時(shí)，求得AC的中垂線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，然后判斷是否是直角三角形即可．

解答 解：解方程x²+2x-3=0得x₁=-3，x₂=1，
則A的坐標(biāo)是（1，0），B的坐標(biāo)是（-3，0）．
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=-1．
設(shè)AC的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則直線(xiàn)AC的解析式是y=-3x+3．
當(dāng)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)A且垂直于AC的直線(xiàn)解析式設(shè)是y=$\frac{1}{3}$x+c，
把A代入得：$\frac{1}{3}$+c=0，
解得：c=-$\frac{1}{3}$，
則解析式是y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$．
令x=-1，則y=-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
則交點(diǎn)是（-1，-$\frac{2}{3}$）．到A的距離是$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則三角形不是等腰三角形；
同理，當(dāng)C時(shí)直角時(shí)，過(guò)C于AC垂直的直線(xiàn)的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+3，與對(duì)稱(chēng)軸x=-1的交點(diǎn)是（-1，$\frac{8}{3}$）．到C的距離是$\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{8}{3}）^{2}}$=$\frac{10}{3}$≠AC，則不是等腰直角三角形；
當(dāng)P是直角，即AC是斜邊時(shí)，AC的中點(diǎn)是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），過(guò)這點(diǎn)且與AC垂直的直線(xiàn)的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{6}$．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-$\frac{1}{3}$+$\frac{8}{6}$=1．
則與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)是（-1，1）．則到A的距離是$\sqrt{（-1-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
∴P的坐標(biāo)是（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)以及等腰直角三角形的判定，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．