Question

16．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（2m-1）+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x₁²+x₂²=0時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到△=（2m-1）²-4m²≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，再${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=0$變形得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=0，則（2m-1）²-2m²=0，然后解方程，再確定滿足條件的m的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$；

（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，
∵${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=0$，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=0，
∴（2m-1）²-2m²=0，
整理得2m²-4m+1=0，
解得m₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵m≤$\frac{1}{4}$，
∴m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的根的判別式．