Question

11．在銳角△ABC中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P₁是點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，求線段EP₁最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，所以∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）如圖2（a），過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，則點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中，利用正弦定義可計算出BD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，則BP與AC垂直，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；如圖2（b），當(dāng)△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=7．

解答 解：（1）如圖1，

∵△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁，點(diǎn)C₁在線段CA的延長線上，
∴∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）如圖2（a），

過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點(diǎn)D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)P在AC上運(yùn)動，BP與AC垂直，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
如圖2（b），當(dāng)P在AC上運(yùn)動至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=2+5=7．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．