Question

6．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB邊與直線l重合，沿AB邊的中垂線將正方形剪開，剪開后的右側(cè)部分以B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP₁為邊的新矩形，我們稱之為第1次操作，沿BP₁邊的中垂線將矩形剪開，再將剪開后的右側(cè)部分以P₁為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到P₁P₂為邊的正方形，我們稱之為第2次操作…按此規(guī)律繼續(xù)操作下去，AP₂₀₁₅的長(zhǎng)是$\frac{{2}^{1008}-1}{{2}^{1006}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)易得AB=1，BP₁=1，P₁P₂=$\frac{1}{2}$，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，P₃P₄=（$\frac{1}{2}$）²，P₄P₅=（$\frac{1}{2}$）²，P₅P₆=（$\frac{1}{2}$）³，P₆P₇=（$\frac{1}{2}$）³，根據(jù)P的腳標(biāo)數(shù)與$\frac{1}{2}$的指數(shù)的關(guān)系易得P₂₀₁₃P₂₀₁₄=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₄P₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，所以AP₂₀₁₅=3+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，接著利用方程的思想計(jì)算出$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶=1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，則AP₂₀₁₅=4-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶．

解答 解：AB=1，BP₁=1，
P₁P₂=$\frac{1}{2}$，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，
P₃P₄=（$\frac{1}{2}$）²，P₄P₅=（$\frac{1}{2}$）²，
P₅P₆=（$\frac{1}{2}$）³，P₆P₇=（$\frac{1}{2}$）³，
…
P₂₀₁₃P₂₀₁₄=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₄P₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，
所以AP₂₀₁₅=2×1+2[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷]=3+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，
設(shè)$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶=S，
則1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁵=2S，
所以S=1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，
所以AP₂₀₁₅=3+1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶=$\frac{{2}^{1008}-1}{{2}^{1006}}$．
故答案為=$\frac{{2}^{1008}-1}{{2}^{1006}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查通過從特殊到一般解決規(guī)律型問題．