Question

2．已知如圖，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，D是斜邊AB上的一動點，聯(lián)結(jié)CD，線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點E重合，聯(lián)結(jié)AE，DE，線段DE交邊AC于點F．
（1）求證：AE=BD；
（2）點D在邊AB上運動的過程中，△AEF是否可能為等腰三角形？若不能，請說明理由；若可能，請寫出此時∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證明AB=BC，CE=CD以及∠ACE=∠BCD，即可證明△ACE≌△BCD，則AE=BD；
（2）可能，若△AEF是等腰三角形，則∠ECF=∠DCB=90°-45°=45°．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
∵線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點E重合，
∴CE=CD，∠DCE=90°，
∵∠ACE=∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD，
∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）解：能．
由（1）可知∠EAC=∠B=45°，∠ECF=∠DCB，
∵△AEF是等腰三角形，
∴AF=EF，∠EAF=∠AEF=45°，
∴EF⊥AC，∠EFC=∠EFA=90°，
∵EC=CD，∠ECD=90°，
∴∠DEC=∠EDC=45°，
∴∠ECF=∠DCB=90°-45°=45°．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ACE≌△BCD是解決問題的關(guān)鍵．