Question

15．已知拋物線y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3交x軸于A、B點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P為x軸下方拋物線上一點(diǎn)，CP交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)S_△ACQ=S_△PBQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 連接BC、AP，如圖，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題求出A（1，0），B（4，0），利用y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C（0，3），再利用待定系數(shù)求出直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，由于S_△ACQ=S_△PBQ，則S_△ACP=S_△ABP，則根據(jù)三角形面積公式和平行線的判定方法可得BC∥AP，接著利用兩直線平行的問(wèn)題可求出直線AP的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，然后通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：連接BC、AP，如圖，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=0，解得x₁=1，x₂=4，則A（1，0），B（4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3=3，則C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（4，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，則直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵S_△ACQ=S_△PBQ，
∴S_△AOP+S_△ACQ=S_△AOP+S_△PBQ，
即S_△ACP=S_△ABP，
∴BC∥AP，
設(shè)直線AP的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+m，
把A（1，0）代入得-$\frac{3}{4}$+m=0，解得m=$\frac{3}{4}$，
∴直線AP的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{15}{4}x+3}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；從二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和兩直線平行的問(wèn)題．