Question

5．已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于B（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)E是對(duì)稱(chēng)軸l與x軸的交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若在x軸上方的P點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠BPC為銳角，直接寫(xiě)出PE的取值范圍．
（3）T為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPC=30°，求T點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將B、C坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可確定該拋物線的解析式．
（2）此題應(yīng)該結(jié)合圓周角定理來(lái)理解，以E為圓心，BC為半徑作圓，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是銳角，那么點(diǎn)E必在M、N之間的函數(shù)圖象上，當(dāng)P位于M或N得位置時(shí)，PE=3，當(dāng)P位于拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，PE的值為拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，由此可求得PE的取值范圍；
（3）先作出等邊三角形BCD，再結(jié)合圓周角定理來(lái)理解，以D為圓心，BC為半徑作圓，和y軸交于點(diǎn)T，最后借助矩形的性質(zhì)和垂徑定理即可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于B（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=0}\\{-16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+2x+8，
（2）如圖，

以E為圓心，BC長(zhǎng)為直徑作圓，交拋物線于M、N兩點(diǎn)；
由圓周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°，
此時(shí)ME=NE=$\frac{1}{2}$BC=3；
若∠BPC是銳角，那么點(diǎn)P必在M、N之間的拋物線圖象上，故PE＞3；
易知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，9），
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)位置時(shí)，PE的長(zhǎng)最大，且此時(shí)PE=9；
綜上可知，PE的取值范圍為：3＜PE≤9．
（3）如圖2，

以BC為邊在x軸上方作等邊三角形，交直線l于點(diǎn)D，
再以點(diǎn)D為圓心BC為半徑畫(huà)圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)T，
由圓周角定理知，∠BTC=$\frac{1}{2}$∠BDC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在等邊三角形BCD中，DT=BD=BC=6，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于F，
∴四邊形OEDF是矩形，
∴OF=DE=3$\sqrt{3}$，
∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+2x+8，
∴DF=OE=1，
在RtDFT中，F(xiàn)T=$\sqrt{D{T}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{35}$
由垂徑定理，得，OT=OF+FT=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$，
∴T（0，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$），
由對(duì)稱(chēng)性可知，T'（0，-3$\sqrt{3}$-$\sqrt{35}$），
即：T為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPC=30°時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3$\sqrt{3}$+$\sqrt{35}$）或（0，-3$\sqrt{3}$-$\sqrt{35}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，解本題的關(guān)鍵是借助圓周角定理作出輔助線，也是解本題的難點(diǎn)．