Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（12，0）、（12，6），直線y=-$\frac{3}{2}$x+b與y軸交于點P，與邊OA交于點D，與邊BC交于點E．
（1）若直線y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面積，求b的值；
（2）在（1）的條件下，當直線y=-$\frac{3}{2}$x+b繞點P順時針旋轉(zhuǎn)時，與線段BC和x軸分別交于點N、M，問：是否存在ON平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線平分矩形的面積，可得直線經(jīng)過對角線的中點，根據(jù)待定系數(shù)法，可得b值；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠1與∠2的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠1與∠3，根據(jù)等腰三角形的判定，可得OM與MN的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得M點坐標；根據(jù)自變量與函數(shù)值的關(guān)系，可得D點坐標，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）如圖1：

直線y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面積，得
直線y=-$\frac{3}{2}$x+b經(jīng)過OB的中點F（6，3），
將F點坐標代入函數(shù)解析式，得-$\frac{3}{2}$×6+b=3．
解得b=12；
（2）存在ON平分∠CNM，
如圖2：
，
∵ON平分∠CNM，
∴∠1=∠2．
由OA∥BC，得∠1=∠3．
∴∠2=∠3，
∴OM=MN．
設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線解析式為y=kx+12，
當y=0時，kx+12=0，解得x=-$\frac{12}{k}$，即M（-$\frac{12}{k}$，0）；
當y=6時，kx+12=6，解得x=-$\frac{6}{k}$，即N（-$\frac{6}{k}$，6）．
由OM=MN，得OM²=MN²，即（-$\frac{12}{k}$）²=（-$\frac{12}{k}$+$\frac{6}{k}$）²+6²，
解得k=-$\sqrt{3}$，k=$\sqrt{3}$（不符合題意，舍）
OM的長為M點的橫坐標，-$\frac{12}{k}$=-$\frac{12}{-\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$，即M（4$\sqrt{3}$，0）；
y=-$\frac{3}{2}$x+12與x軸的交點為D，
當y=0時，-$\frac{3}{2}$x+12=0，解得x=8，即D（8，0）；
MD=8-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用直線平分矩形的面積得出直線經(jīng)過矩形對角線的中點是解題關(guān)鍵；（2）利用等腰三角形的判定得出OM=MN是解題關(guān)鍵，又利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系．