Question

15．已知：如圖，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，線段DE與菱形對(duì)角線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線交邊DC于點(diǎn)G
（1）求證：∠AED=∠FBC；
（2）求證：四邊形DEBG是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）首先證明△CBF≌△CDF，從而得到∠FBC=∠FDC，然后由平行線的性質(zhì)可知∠FDC=∠AED，從而可證得∠AED=∠FBC；
（2）連接BD，由菱形的性質(zhì)可知；OB=OD，然后再證明OG=OE，從而可證得四邊形DEBG是平行四邊形．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCF=∠BCF，DC=BC．
在△DCF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}\\{∠DCF=∠BCF}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BCF，
∴∠FBC=∠FDC．
∵DC∥AB，
∴∠FDC=∠AED．
∴∠AED=∠FBC．
（2）如圖，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，O是AC的中點(diǎn)，
∴OD=OB．
∵DC∥AB，
∴∠GCO=∠EAO．
在△GCO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOC=∠EAO}\\{OC=OA}\\{∠GCO=∠EAO}\end{array}\right.$，
∴△GCO≌△EAO，
∴OE=OG．
∴四邊形DEBG是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，證得OG=OE是解題的關(guān)鍵．