Question

12．如圖，⊙O是以原點為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓，點P是直線y=-x+6上的一點，過點P 作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則△OPQ面積的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由P在直線y=-x+6上，設P（m，6-m），連接OQ，OP，由PQ為圓O的切線，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出關系式，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．

解答 解：∵P在直線y=-x+6上，
∴設P坐標為（m，6-m），
連接OQ，OP，由PQ為圓O的切線，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理得：OP²=PQ²+OQ²，
∴PQ²=m²+（6-m）²-2=2m²-12m+34=2（m-3）²+16，
則當m=3時，切線長PQ的最小值為4．
則△OPQ面積的最小值為$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：切線的性質(zhì)，勾股定理，配方法的應用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．